| ２・８・１６進法の計算 |
私たちが日常使う数は１０進法で書かれていますが，コンピュータ内部での数の表現は２進法で行われています。しかし，コンピュータ内部で２進法で計算が行われていても，その結果は普通は１０進法に変換されて画面やプリンタに出力されますから，一般のユーザーはこのことを気にする必要は余りありません。しかし，２進法はコンピュータの核となっている表現ですから，その反映 が色々場面で表れることあります。ですから，コンピュータについてある程度詳しく知ろうと思う人にとって，２進法の仕組みやその計算についての理解は必須のものと言えます。ですから，
コンピュータを良く知るためには，ある程度２進法について知ることは基本
と言えるでしょう。
ここでは２進法とその略記法である８進法，１６進法について説明します。
| ２進法とコンピュータ |
２進法の起源は意外と古く，ライプニッツ（１６４６〜１７１６）まで遡ると言われています。しかし，手回しコンピュータや，電気式による初期のコンピュータでは２進法が使われていたわけではありません。コンピュータに２進法が取り入れられたのは，Atnasoff と Berry によるABC(Atanasoff-Berry Computer)（１９４０年頃）が最初と言われています。このコンピュータは電子式デジタルコンピュータの最初のものともされています。
２進法が現在のコンピュータで使われる理由は，主に電子技術的側面にあります。２進法では１桁が０と１しかなく加減乗除等計算が非常に単純に行われます。（但し，その分だけ計算回数は多くなります。）この単純さがコンピュータのハードを構成する時の利点となりました。つまり
コンピュータで２進法が使われる理由は装置の作りやすさから
と言えます。便宜的な感じもしますが，
私たちが１０進法を使う元々の理由は手の指が１０本だから
ということを考え合わせると，進法の選択は元々便宜的なものなのかもしれません。
２進法は数についての次の性質から得られます。
| 命題 ０でない自然数ａは ａ＝ａｍ２ｍ＋・・・＋ａ１２＋ａ０， 但し ，ａｍ≠０でａｉは０または１ と唯一通りに表される。 |
この性質から，数ａを表すのに，この表示を常に対応させることにして，ａのことを
ａｍａｍ−１・・・ａ２ａ１ａ０
と表すことにします。これをａの２進法表示といいます。実は１０進法や，一般にｎ進法といわれるものは同様に定められるものです。
例えば，普通の１０進法での４３は
４３＝１・２５＋０・２４＋１・２３＋０・２２＋１・２１＋１
ですから，２進法では１０１０１１と表されます。これを
１０１０１１（２進）＝４３（１０進）
のように表すことにします。
| ２進法での加減乗除 |
２進法での加減乗除は１０進法でふつうに行うのと同様に出来ます。例をあげましょう。
加法
異分母分数を追加し解決する方法
| １ | ０ | １ | ０ | ||
| ＋ | １ | １ | ０ | １ |
減法
| １ | １ | ０ | １ | １ | |
| - | １ | １ | ０ | １ |
乗法
| １ | ０ | １ | |||
| × | １ | １ | １ |
| １ | ０ | １ | |||
| １ | ０ | １ | |||
| １ | ０ | １ |
除法
割合に混合数字に変換する方法
| １ | １ | １ |
| 1 | 1 | ） | １ | ０ | １ | ０ | １ |
| - | １ | 1 | |||||
| １ | ０ | ０ | |||||
| - | １ | １ |
| １ | １ | ||||||
| - | １ | １ |
| ０ |
このように，２進法でも普通の計算と同様に行われますが，１０進法の場合と重要な違いがあります。それは，各桁が１と０しかないため計算回数が多くなるという欠点はありますが，
各段階での計算は全く簡単です！！
１０進法の計算で苦労した九九を使うことや，割り算で幾つが立つか考えることがありません。特に１桁だけについて考えれば
１＋１＝１０， ０＋１＝１
１×１＝１， １×０＝０
と言ったものだけです。このように単純化できたことで，この計算を実行する電子回路を実際に作ることが出来るようになりました。（それでも，この計算をする回路は単純というわけではありません。）
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コンピュータで扱われる数は整数だけではありません。日常の計算でも分数や小数を扱います。コンピュータでは分数は割り算を行うことと解釈して，分数のみを実際には扱います。（勿論，数式処理ソフトのような特別なものでは，分数をそのまま扱います。）
２進法での小数の意味は次のように定められます。
| ａ＝ａｍ２ｍ＋・・・＋ａ１２＋ａ０＋ｂ1２-１＋・・・＋ ｂｎ２-ｎ （但し，ａｍ≠０でａｉとｂｉは０または１）と表される 数ａを ａｍａｍ−１・・・ａ２ａ１ａ０ ．ｂ１ｂ２・・・ｂｎ と表して，ａの２進小数表示と言います。 |
コンピュータで小数を扱う場合，当然のことですが，扱う小数は有限小数です。しかし，割り算を行った場合，結果が無限小数になることがしばしばあります。この場合コンピュータでは，適当な有限部分で切って，次の桁を四捨五入（２進の場合は零捨一入？）して有限小数にします。従ってこの場合，計算誤差がここで混入することになります。
１０進法で１/３や１/７が無限小数になることは良く知られていますが，２進法で分数を表した場合，どのような数が無限小数になるのでしょうか。これについては次のことが示されます。
| ２進小数で有限小数となる既約分数は（１０進小数で表した場合）奇数ａに対して， ａ/２ｎ の形の数に限られる。 |
こ の事実は，コンピュータに取って残念な結果です。実際，この形の数は数全体からすれば，極めて僅かな割合しかありません。実際の割り算の計算で，除数が２の冪であることは本当に少ないことです。つまり，割り算の計算では割り切られる場合を除けば，
殆んどが２進小数では無限小数になり，コンピュータでの計算では誤差の素になる
ということです。ですから割り算を伴った小数計算では必ず誤差の問題が生ずることに注意しましょう。勿論十分大きな桁数を取って計算をすれば，普通の計算では，実用上問題のない程度の誤差になることも事実です。
数値計算では誤差の評価が重要な問題で，色々と研究されています。
コンピュータ内部では２進法が使われていますが，２進法を扱う上で１つ欠点があります。それは数の大きさに比べて桁数がかなり大きくなることです。例えば，365を２進法で表すと，
101101101
となります。コンピュータで扱うのはこの程度の桁は何でもありませんが，人間が手計算で簡単に処理できる桁数は恐らく５桁程度ですから，かなりの負担です。このため２進数をもっと簡単に表記する方法が考えられました。それが，８進法や１６進法です。つまり
８進法や１６進法は２進法の略記法
です。（勿論，数学的には，８進法や１６進法は２進法とは独立に定義することもできます。），
１６進法
１６進法は２進数を４桁づつ纏めて１桁と表したものです。
対応は次の表で与えられます。
| ２進法 １６進法 | ００００ ０ | ０００１ １ | ００１０ ２ | ００１１ ３ | ０１００ ４ | ０１０１ ５ | ０１１０ ６ | ０１１１ ７ |
| ２進法 １６進法 | １０００ ８ | １００１ ９ | １０１０ Ａ | １０１１ Ｂ | １１００ Ｃ | １１０１ Ｄ | １１１０ Ｅ | １１１１ Ｆ |
例えば，
１００１１０１０１１（２進法）＝００１０ ０１１０ １０１１ （２進法）
＝ ２ ６ Ｂ （１６進法）
＝ ２６Ｂ（１６進法）
となります。
現在のコンピュータは８ビットを基本単位として扱っています。ですから，この８ビットを２桁の１６進数で表すのは便利で，１６進法表記は良く使われます。
８進法
８進法は２進数を３桁づづ纏めて１桁としたものです。
対応は次の表で与えられます。
| ２進法 ８進法 | ０００ ０ | ００１ １ | ０１０ ２ | ０１１ ３ |
| ２進法 ８進法 | １００ ４ | １０１ ５ | １１０ ６ | １１１ ７ |
例えば，
１００１１０１０１１（２進法）＝００１ ００１ １０１ ０１１ （２進法）
＝ １ １ ５ ７ （８進法）
＝ １１５７（８進法）
となります。
私たちは，１０進の世界に住んでいますから，２進法（１６進法）に慣れるのは中々大変です。ですから実際に１６進法を使って計算する状況になった場合は適当なツールを使って計算するのが良いでしょう。実際，Windows に付属している電卓にも，関数電卓モードではそのような機能が備わっています。 Tiny Basic では，現在，１６進についてはHex$ と&がありますが，十分とは言えません。機会を見て充実させることも考えますが，今は取りあえず，
１０進，２進，８進，１６進変換のプログラム
を作ってみました。小数にも対応しています。Bin.
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